Question

附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．?
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．?

Answer 1

分析：正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．

解答：解：①S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE?
方法1：同底同高?
S_△ADE+S_△BCE=

1

2

AE×AD+

1

2

EB×AD=

1

2

AD(AE+EB)=

1

2

AD×AB=S△DEC．
方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形
所以S_△AED=S_△EFD，S_△EBC=S_△EFC，?
所以S_△ADE+S_△BCE=S_△EFD+S_△EFC=S_△DEC．

②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上
当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．

③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．
理由如下：
设S_△ADE=S₁，S_△BCE=S₂，S_△DEC=S₃，
梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．
则S1=

1

2

bh1；S2=

1

2

ah2S3=S-S1-S2=

1

2

(a+b)(h1+h2)-

1

2

ah2-bh1=

1

2

(ah1+bh2)
如果S_△ADE+S_△BCE=S_△DEC，则有

1

2

(bh1+ah2)=

1

2

(ah1+bh2)，a（h₁-h₂）=b（h₁-h₂）．
如果h₁=h₂，则E为AB中点，如果h₁≠h₂，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．

点评：解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．