Question

1．如图所示，在矩形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连结AE，交DC于点F，作BH⊥AE于点G，交DC于点H，作FM∥BC交BH于点M，连结AM．且FH=FE．AD=2$\sqrt{7}$．AG=6．
（1）求：AF的长；
（2）求：四边形AGHD的面积；
（3）求证：∠BAM=45°-$\frac{1}{2}$∠HBA．

Answer 1

分析 （1）由条件可证得△HFG≌△EFC，可得GH=CE，CF=GF，进一步可证得BH=BE，则有BG=BC，在Rt△ABG中可求得AB，又可证明△ADF≌△BGA，则AF=AB，可求得AF的长；
（2）利用（1）中的结论可求得DF，CF，又△CEF∽△DAF，可求得CE的长，可求得可△ABE的面积，则S_{四边形AGHD}=S_矩形ABCD-S_{四边形ABCF}-S_△GHF，利用全等S_△GHF=S_△CEF，则可求得四边形AGHD的面积；
（3）延长FM交AB于点N，由（2）中求得DF的长，则可求得AN的长，可求得AN=AG，可证明△AGM≌△ANM，可得∠BAG=2∠BAM，在Rt△ABG中，由直角三角形的性质可得∠BAG=90°-∠HBA，可证得结论．

解答 （1）解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC=2$\sqrt{7}$，∠D=∠FCE=90°
∵BH⊥AE，
∴∠HGF=∠AGB=90°
在△HFG和△EFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGF=∠ECF}\\{∠HFG=∠EFC}\\{HF=EF}\end{array}\right.$
∴△HFG≌△EFC（AAS），
∴GF=CF，
∴HF+CF=GF+EF即CH=GE，
在△BCH和△BGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBC=∠GBE}\\{∠BCH=∠BGE}\\{CH=GE}\end{array}\right.$
∴△BCH≌△BGE（AAS），
∴BG=BC=AD=2$\sqrt{7}$，
在R△ABG中，AG=6，则由勾股定理可得AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=8，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AFD，
在△ABG和△FDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠ADF}\\{∠BAG=∠DFA}\\{BG=AD}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△FDA（AAS），
∴AF=AB=8；
（2）解：
由（1）可知△ABG≌△FDA，
∴DF=AG=6，
∴CF=CD-DF=AB-DF=8-6=2，
∵BE∥AD，
∴△CEF∽△DAF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{DF}$，即$\frac{CE}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{6}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，则BE=BC+CE=AD+CE=2$\sqrt{7}$+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$=$\frac{8\sqrt{7}}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{8\sqrt{7}}{3}$=$\frac{32\sqrt{7}}{3}$，
∵△HGF≌△CEF，
∴S_△GHF=S_△CEF，且S_矩形ABCD=AB•BC=8×2$\sqrt{7}$=16$\sqrt{7}$，
∴S_{四边形AGHD}=S_矩形ABCD-S_{四边形ABCF}-S_△GHF=S_矩形ABCD-（S_{四边形ABCF}+S_△GHF）=S_矩形ABCD-S_△ABE=16$\sqrt{7}$-$\frac{32\sqrt{7}}{3}$=$\frac{16\sqrt{7}}{3}$；
（3）证明：
如图，延长FM交AB于点N，

∵MF∥BC，
∴四边形BCFN为矩形，
∴NB=FC=2，则AN=8-2=6=AG，
在△AMN和△AMG中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AG}\\{∠ANM=∠AGM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△AMG≌△AMG（SAS），
∴∠BAM=∠GAM，
∴∠BAG=2∠BAM，
在Rt△ABG中，∠BAG=90°-∠HBA，
∴2∠BAM=90°-∠HBA，
∴∠BAM=45°-$\frac{1}{2}$∠HBA．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质及勾股定理等．在（1）中求得AF=AB是解题的关键，在（2）中注意面积的和差关系，在（3）中证得∠BAG=2∠BAM是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度很大．