分析 过点A作AH⊥BC于H,根据角平分线的性质可得BH=CH,AH平分∠BAC,从而得到△ABC的外心O及内心I都在AH上.设△ABC外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,连接IE、BI、OB,如图,在Rt△AHB中运用勾股定理可求出AH,在Rt△OHB中运用勾股定理可求出R,然后运用面积法可求出r,即可解决问题.
解答 解:过点A作AH⊥BC于H,
∵AB=AC,
∴BH=CH,AH平分∠BAC,
∴△ABC的外心O及内心I都在AH上.
设△ABC外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,连接IE、BI、OB,如图,
在Rt△AHB中,
∵AB=10,BH=6,∴AH=8.
在Rt△OHB中,
OH2+BH2=OB2,
则(8-R)2+62=R2,
解得R=$\frac{25}{4}$,
∴OH=AH-AO=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$.
∵S△ABH=S△ABI+S△BHI,
∴$\frac{1}{2}×6×8$=$\frac{1}{2}$×6r+$\frac{1}{2}$×10r,
解得r=3,
∴IH=3,
∴IO=IH-OH=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$.
故答案为$\frac{5}{4}$.
点评 本题主要考查了三角形的内心和外心、等腰三角形的性质、圆的切线的性质、勾股定理等知识,在求三角形内切圆半径时巧妙地运用面积法,涉及到垂线段的长通常可考虑使用面积法.
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