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在⊙O中,AB是直径,CD是弦(非直径),AB⊥CD,现有直线k经过点D旋转交⊙O于P,当直线k经过点A时(如图1)易证:∠DPB+∠C=90°.
(1)当点P在上时(如图2),“∠DPB+∠C=90°”还成立吗?试证明你的结论;
(2)在直线k绕点D旋转的过程中(不考虑P与B或D重合的情形),∠DPB与∠C有几种不同的数量关系?写出与“∠DPB+∠C=90°”不同的关系式(仍用等式表示),并说明点P相应的位置和理由.

【答案】分析:(1)利用圆周角定理可得∠DPB=∠A;然后根据垂径定理、直角三角形的两个锐角互余的性质证得该结论成立;
(2)有两种不同的数量关系:“∠DPB+∠C=90°”和“∠DPB-∠C=90°”.连接AP,BP.由圆周角定理(直径所对的圆周角是直角)推知∠BPA=90°,由等弧所对的圆周角相等证得∠C=∠APD;然后根据图形中的相关角间的数量关系知∠BPD=∠BPA+∠APD,即∠BPD-∠C=90°.
解答:(1)如图1所示:点在上时,∠DPB+∠C=90°,仍成立.
证明:∵AB⊥CD,∴CE=DE,
=
∵∠DPB=∠A(等弧所对的圆周角相等);
又∵∠A+∠C=90°,
∴∠DPB+∠C=90°(等量代换);

(2)有两种不同的数量关系:“∠DPB+∠C=90°(如图1所示)”和“∠DPB-∠C=90°(如图2所示)”.
当点P在上时,∠DPB-∠C=90°;
证明:连接AP,BP.∠BPD=∠BPA+∠APD,
∵AB是直径,
∴∠BPA=90°;
∵∠C=∠APD,
∴∠BPD=90°+∠C,即:∠BPD-∠C=90°.
点评:本题考查了圆的综合题:在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角为直角;垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
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4、如图,在⊙O中,AB是⊙O直径,∠BAC=40°,则∠ADC的度数是(  )

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(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)设OC与BE相交于点G,若OG=4,求⊙O半径的长;
(3)在(2)的条件下,当OE=6时,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号)

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(1)求证:∠AOD=2∠C;
(2)若AD=8,tanC=
43
,求⊙O的半径.

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AD
的中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:
①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④AP•AD=CQ•CB.
其中正确的是
②③④
②③④
(写出所有正确结论的序号).

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