Question

3．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD，CM平分∠ACD，交BC于N，交AD于M
（1）求证：DM=DN
（2）若AB=6，BC=2，求tan∠ACM的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明DM=DN，只要证明∠DMN=∠DNM即可；
（2）连接OD交CM于E，作EF⊥AC于F．由△CDB∽△CAD，可得CD²=CB•CA=16，推出CD=4，由$\frac{{S}_{△CED}}{{S}_{△CEO}}$=$\frac{\frac{1}{2}•CD•DE}{\frac{1}{2}•OC•EF}$=$\frac{ED}{EO}$，可以推出$\frac{CD}{OC}$=$\frac{DE}{EO}$=$\frac{4}{5}$，推出DE=$\frac{4}{9}$OD=$\frac{4}{3}$，根据tan∠ACM=tan∠DCE=$\frac{ED}{CD}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$，即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠CDB=∠A，
∵∠DNM=∠CDB+∠DCM，∠DMN=∠A+∠ACM，
∵∠DCM=∠ACM，
∴∠DNC=∠DMN，
∴DM=DN．

（2）连接OD交CM于E，作EF⊥AC于F．
由△CDB∽△CAD，可得CD²=CB•CA=16，
∴CD=4，
∵$\frac{{S}_{△CED}}{{S}_{△CEO}}$=$\frac{\frac{1}{2}•CD•DE}{\frac{1}{2}•OC•EF}$=$\frac{ED}{EO}$，
∵CM平分∠DCA，
∴ED=EF，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{DE}{EO}$=$\frac{4}{5}$，
∴DE=$\frac{4}{9}$OD=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠ACM=tan∠DCE=$\frac{ED}{CD}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定、锐角三角函数等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．