Question

如图，在锐角△ABC中，BA=BC，点O是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），以O为圆心，OA为半径的圆交边AC于点M，过点M作⊙O的切线MN交BC于点N．
（1）当OA=OB时，求证：MN⊥BC；
（2）分别判断OA＜OB、OA＞OB时，上述结论是否成立，请选择一种情况，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OM，则OM⊥MN，△OAM中，OA=OM，因此∠A=∠OMA=∠C，因此OM∥BC，故MN⊥BC；
（2）由（1）的证明过程可知：证MN⊥BC，与OA、OB的大小没有关系，因此两种情况都成立．
解答：（1）证明：如图①，连接OM，则OM⊥MN；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC；

（2）解：当OA＜OB时，成立；当OA＞OB时，也成立．
以OA＜OB为例进行说明，如图②，OA＜OB，连接OM；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC．
点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质等知识的综合应用能力．