Question

在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数），平移二次函数y=-tx²的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（|OB|＜|OC|），连接AB。

（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|²=|OB|·|OC|？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。

Answer 1

解：（1）∵平移y=-tx²的图象得到的抛物线F的顶点为Q，
∴抛物线F对应的解析式为：y=-t（x-t）²+b，
∵抛物线与x轴有两个交点，∴tb＞0，令y=0，得OB=，OC=，
∴|OB|·|OC|=，即，
所以当b=2t³时，存在抛物线F使得|OA|²=|OB|·|OC|；
（2）∵AQ∥BC，
∴t=b，得F：y=-t（x-t）²+t，
解得x₁=t-1，x₂=t+1，
在Rt△AOB中，①当t＞0时，由|OB|＜|OC|，得B（t-1，0），
当t-1＞0时，由tan∠ABO=，解得t=3，
此时，二次函数解析式为y=-3x²+18x-24；
当t-1＜0时，由tan∠ABO=，解得t=，
此时，二次函数解析式为；
②当t＜0时，由|OB|＜|OC|，将-t代t，可得t=-，t=-3，
所以二次函数的解析式为或。