Question

（2004•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
求证：CD=CE；
（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）可连接OD，通过等边对等角（∠OAD=∠ODA），等角的余角相等（∠OAE+∠OEA=90°，∠ODA+∠CDE=90°），
以及对顶角相等（∠AEO=∠CED），将相等的角进行置换即可得出∠CDE=∠CED，即CD=CE；
（2）连接OD方法和（1）完全相同；
（3）延长OA交CF于G，由于CF是上下平行移动，因此OG⊥CF，证法同（1）．
解答：（1）证明：连接OD，
OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，
∠AEO+∠A=90°；
在⊙O中，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；

（2）解：CE=CD仍然成立，
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，
∴CF⊥AO于F；
在Rt△AFE中，
∠A+∠AEF=90°，
连接OD，则
∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE；
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；

（3）解：CE=CD仍成立，
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，
∴AO⊥CF，
延长OA交CF于G，
在Rt△AEG中，
∠AEG+∠GAE=90°；
连接OD，有，
∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=∠GAE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE．
点评：本题主要考查了切线的性质，本题中虽然CF的位置不一样但都是根据切线的性质，等边对等角，等角的余角相等来求解的．