Question

10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿△ABC 的边按A→B→C→A的顺序运动一周，则点P出发2或2.5或11或1.4s时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

分析 根据∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，利用勾股定理求出AB的长，①当点P在AB边上时；②当点P在BC边上时，不存在△BCP；③点P在AC边上时；利用P点的运动速度求出时间即可，注意分类讨论．

解答 解；∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm），
①当点P在AB边上时，
当BP=BC=6cm时，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，4÷2=2，
∴点P出发2s时，△BCP为等腰三角形；
当PC=PB时，P为斜边AB的中点，
此时AP=BP=PC=5cm，5÷2=2.5，
∴点P出发2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图1所示：
则△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{6}{10}=\frac{BD}{6}$，
解得：BD=3.6，
∴BP=2BD=7.2，
∴AP=10-7.2=2.8，2.8÷2=1.4，
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形；
②当点P在BC边上时，不存在△BCP；
③点P在AC边上时，CP=CB=6，AB+BC+CP=10+6+6=22，22×2=11，
∴点P出发11s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述：点P出发2s或2.5s或11s或1.4s时，△BCP为等腰三角形；
故答案为：2或2.5或11或1.4．

点评 此题主要考查勾股定理和等腰三角形的判定，解答此题的关键是首先根据勾股定理求出AB的长，然后再利用等腰三角形的性质去判定．