Question

如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6，点B是线段OA上一动点，过点B作直线MN∥x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．
（1）求证：EB=BF；
（2）当

OB

OA

为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；
（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）证明：由OF平分OA与x轴正方向的夹角得∠1=∠3，由MN∥x轴，根据平行线的性质得∠1=∠2，所以∠2=∠3，则根据等腰三角形的判定得BO=BF，同样的方法可得BE=BO，于是有BE=BF；
（2）由于MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F，根据平角的定义得到∠EOF=90°，根据矩形的判定方法得当四边形AEOF为平行四边形时，四边形AEOF为矩形，而BE=BF，根据平行四边形的判定，当OB=AB时，四边形AEOF为平行四边形，于是得到

OB

OA

=

1

2

时，四边形AEOF是矩形；
（3）由于四边形AEOF是矩形，根据正方形的判定方法，当OA⊥EF时，四边形AEOF为正方形，而EF∥x轴，则OA⊥x轴，所以点A在y轴上，易得点A的坐标为（0，6），利用BO=BA可得B点坐标为（0，3）．

解答：（1）证明：∵OF平分OA与x轴正方向的夹角，
∴∠1=∠3，
∵MN∥x轴，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BO=BF，
同理可得BE=BO，
∴BE=BF；
（2）当

OB

OA

的值为

1

2

时，四边形AEOF是矩形．理由如下：
∵

OB

OA

=

1

2

，即BO=BA，
而BE=BF，
∴四边形AEOF为平行四边形，
∵MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．
∴∠EOF=

1

2

×180°=90°，
∴四边形AEOF是矩形；
（3）存在．
∵四边形AEOF是矩形，
∴当OA⊥EF时，四边形AEOF为正方形，
而EF∥x轴，
∴OA⊥x轴，
∴点A在y轴上，
∴点A的坐标为（0，6），
∵BO=BA，
∴B点坐标为（0，3）．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；记住坐标轴上点的坐标特征．