【题目】已知,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE= .
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP= S△ACD , 求点P的坐标;
(4)在坐标轴上找一点M,使以点B,C,M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.
【答案】
(1)解:∵抛物线的对称轴是直线x=1,点A(3,0),
∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为(﹣1,0),OA=3,
将A(3,0),B(﹣1,0)代入抛物线解析式中得: ,
解得: ,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
当x=1时,y=4,
∴顶点D(1,4).
(2)解:当=0时,
∴点C的坐标为(0,3),
∴AC= =3
,CD=
=
,AD=
=2
,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°.
∴AD为△ACD外接圆的直径,
∵点E在 轴C点的上方,且CE= .
∴E(0, )
∴AE= =
DE=
=
,
∴DE2+AD2=AE2,
∴△AED为直角三角形,∠ADE=90°.
∴AD⊥DE,
又∵AD为△ACD外接圆的直径,
∴DE是△ACD外接圆的切线;
(3)解:设直线AC的解析式为y=kx+b,
根据题意得: ,
解得: ,∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,
∵A(3,0),D(1,4),
∴线段AD的中点N的坐标为(2,2),
过点N作NP∥AC,交抛物线于点P,
设直线NP的解析式为y=﹣x+c,
则﹣2+c=2,解得:c=4,
∴直线NP的解析式为y=﹣x+4,
由y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3联立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4,
解得:x= 或x=
,
∴y= ,或y=
∴P( ,
)或(
,
);
(4)解:分三种情况:①M恰好为原点,满足△CMB∽△ACD,M(0,0);
②M在x轴正半轴上,△MCB∽△ACD,此时M(9,0);
③M在y轴负半轴上,△CBM∽△ACD,此时M(0,﹣ );
综上所述,点M的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,﹣ ).
【解析】(1)把A点坐标代入解析式及由对称轴x=1求出B点坐标代入即可;顶点可配方化为顶点式;(2)由两点间距离公式求出AC、CD、AD的长,运用勾股定理逆定理判定出△ACD为直角三角形,再判定出△AED为直角三角形,∠ADE=90°.即AD⊥DE,AD为△ACD外接圆的直径,所以DE是△ACD外接圆的切线;(3)若S△ACP= S△ACD则P在过AD中点的平行于AC的直线上,此直线解析式中k 与AC 解析式斜率k相等,联立此直线与抛物线解析式,求出P的坐标;(4)用文字连接的相似,对应点不确定,须分类讨论,分3类:M恰好为原点;M在x轴正半轴上;M在y轴负半轴上;按照对应边成比例,可求出M坐标.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的度数为( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况,随机抽取本校40名学生进行问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图:
根据以上信息解答下列问题:
(1)课外体育锻炼情况统计图中,“经常参加”所对应的圆心角的度数为;“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中,喜欢足球的人数有人,补全条形统计图.
(2)该校共有1200名学生,请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人?
(3)若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组,请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.请根据图象,解答下列问题:
(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h;
(2)求线段DE对应的函数解析式;
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,点Q同时从点B出发,点P沿BE→ED→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s,设P、Q出发t秒时,△BPQ的面积为y(cm2),已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:
①AD=BE=5cm;②当0<t≤5时,y= t2;③直线NH的解析式为y=﹣
t+27;④若△ABE与△QBP相似,则t=
秒,
其中正确结论的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某企业接到为地震灾区生产活动房的任务,此企业拥有九个生产车间,现在每个车间原有的成品活动房一样多,每个车间的生产能力也一样.有A、B两组检验员,其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品(原来的和这两天生产的)检验完毕后,再去检验第三、四车间所有成品,又用去三天时间;同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品.如果每个检验员的检验速度一样快,那么B组检验员人数为( )
A. 8人B. 10人C. 12人D. 14人
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AE、BF、DC是直线,B在直线AC上,E在直线DF上,∠1=∠2,∠A=∠F.
求证:∠C=∠D.
证明:因为∠1=∠2(已知),∠1=∠3( )
得∠2=∠3( )
所以AE//_______( )
得∠4=∠F( )
因为__________(已知)
得∠4=∠A
所以______//_______( )
所以∠C=∠D( )
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com