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15.如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x>0)的图象交于点B(2,n),点P(3n-4,1)是反比例函数图象上的一点.
(1)求m的值;
(2)根据图象,直接写出当反比例函数y=$\frac{m}{x}$的函数值大于或等于直线BP的函数值时,自变量x的取值范围;
(3)过点B作BC⊥x轴于点C,当∠PBC=∠ABC时,求一次函数y=kx+b的表达式.

分析 (1)把B、P的坐标代入反比例函数解析式,可得到关于m、n的方程组,可求得m的值;
(2)由(1)可求得B、P的坐标,结合函数图象可求得答案;
(3)过点P作PD⊥BC,垂足为D,并延长PD交AB于点P′,可证明△BDP≌△BDP′,则可求得P′的坐标,由B、P′的坐标,利用待定系数法可求得直线AB的解析式.

解答 解:
(1)∵点B(2,n)、P(3n-4,1)在反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x>0)的图象上,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2n=m}\\{3n-4=m}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=4}\end{array}\right.$,
∴m的值为8;

(2)由(1)可得点B(2,4),P(8,1),
∴根据图象可知,当反比例函数y=$\frac{m}{x}$的函数值大于或等于直线BP的函数值时,即直线BP的图象在反比例函数图象的下方时,对应的自变量的取值范围,
∴自变量x的取值范围为0<x≤2或x≥8;

(3)如图,过点P作PD⊥BC,垂足为D,并延长PD交AB与点P′

在△BDP和△BDP′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBD=∠P′BD}\\{BD=BD}\\{∠BDP=∠BDP′}\end{array}\right.$
∴△BDP≌△BDP′(ASA),
∴DP′=DP=6,
∴点P′(-4,1),
将点P'(-4,1),B(2,4)代入直线y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-4k+b=1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=$\frac{1}{2}$x+3.

点评 本题为反比例函数与一次函数的综合应用,涉及函数图象上的点与函数解析式的关系、待定系数法、全等三角形的判定和性质及数形结合思想等知识.在(1)中由B、P的坐标得到m、n的方程是解题的关键,在(2)中注意数形结合思想的应用,在(3)中构造全等三角形,求得P′的坐标是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,但难度不大.

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18.如图,港口B位于港口A的南偏东37°方向,灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5km到达E处,测得灯塔C在北偏东45°方向上,这时,E处距离港口A有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

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10.按照一定顺序排列的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a1,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).如:数列1,3,9,27,…,为等比数列,其中a1=1,公比为q=3.
(1)等比数列3,6,12,…,的第6项是96.
(2)如果一个数列a1,a2,a3,a4,…,是等比数列,且公比为q.根据定义可得到:$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q,$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q,$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q,…,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q.所以a2=a1•q,a3=a2•q=(a1•q)•q=a1•q2,a4=a3•q=(a1•q2)•q=a1•q3,…,由此可得:an=a1•qn-1(用a1和q的代数式表示).
(3)若用Sn表示等比数列a1,a2,a3,a4,…,an,中前n项和.证明分两种情况:当q=1时,a2=a1,a3=a1,a4=a1,…,∴Sn=a1+a2+a3+…+an=na1
①根据q=1的证明方法,证明:当q≠1时,等比数列前n项和Sn=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$成立.
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20.已知:如图,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(2,-2),B(6,-2),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位的速度移动,过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒(0<t<4).△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
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4.有下列3个不同的问题情境:
①某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y℃;
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5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是(  )
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