Question

如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），点F、D分别在x轴、y轴上，正方形DEFO的边长为a（a＜2），连接AC、AE、CF．
（1）求图中△AEC的面积，请直接写出计算结果；
（2）将图中正方形ODEF绕点O旋转一周，在旋转的过程中，S_△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；
（3）将图1中正方形ODEF绕点O旋转，当点E在第二象限时，设E（x，y），△AEC的面积为S，求S关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）∵A（4，0），B（4，4），C（0，4），∴可以知道正方形ABCO的边长为4，而S_△AEC=S_△AOC+S_梯形CEFO
-S_△EFA．这样就求出了该三角形的面积．
（2）如图2，当E点旋转到正方形的对角线H点时，S_△AHC最小．当E点运动到G点S_△AHC最大，根据三角形面积公式可以求出其面积．
（3）首先利用OE不变把y用含x和a的式子表示出来，然后根据第一问求△AEC的面积的方法，表示出S后通过化简就可以求出S与x之间的函数关系式．

解答：解：（1）由图形得S_△AEC=S_△AOC+S_梯形CEFO-S_△EFA
∴S_△AEC=

4×4

2

+

a(a+4)

2

-

a(4+a)

2

=8

（2）如图，S_△AHC=S_△AEC最小=8-4a
S_△AGC=S_△AEC最大=8+4a

（3）在正方形EFOD中，由勾股定理得：
EO=

2

a
∵E（x，y）
∴OG=-x，EG=y
在Rt△EGO中，由勾股定理得：
y²+x²=2a²
∴y=

2a2-x2

EG=

2a2-x2

∴S=8+

-x( 2a2-x2 +4)

2

-

(4-x) 2a2-x2

2

S=8-2x-2

2a2-x2

．

点评：本题是一道有关旋转问题的试题，考查了三角形的面积公式、勾股定理、正方形的性质以及旋转的性质和利用图形面积求函数的表达式．