【题目】(问题情境)在△ABC中,AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.当P在BC边上时(如图1),求证:PD+PE=CF.
证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.(不要证明)
(变式探究)(1)当点P在CB延长线上时,其余条件不变(如图3),试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.
(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线l1:y=-x+8与直线l2:y=﹣2x+8相交于点A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为2.求点P的坐标.
【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)
【解析】
【变式探究】
连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;
【结论运用】
过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;
【迁移拓展】
分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.
变式探究:连接AP,如图3:
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ACP﹣S△ABP,
∴ABCF=ACPE﹣ ABPD.
∵AB=AC,
∴CF=PD﹣PE;
结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.
∵AD=16,CF=6,
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,
由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.
∴DF=5.
∵∠C=90°,
∴DC==8.
∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.
∴四边形EQCD是长方形.
∴EQ=DC=4.
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB.
∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB.
∴BE=BF,
由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.
∴PG+PH=8.
∴PG+PH的值为8;
迁移拓展:如图,
由题意得:A(0,8),B(6,0),C(﹣4,0)
∴AB==10,BC=10.
∴AB=BC,
(1)由结论得:P1D1+P1E1=OA=8
∵P1D1=1=2,
∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6
又点P1在直线l2上,
∴y=2x+8=6,
∴x=﹣1,
即点P1的坐标为(﹣1,6);
(2)由结论得:P2E2﹣P2D2=OA=8
∵P2D2=2,
∴P2E2=10 点P1的纵坐标为10
又点P1在直线l2上,
∴y=2x+8=10,
∴x=1,
即点P1的坐标为(1,10)
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【题目】科研所计划建一幢宿舍楼,因为科研所实验中会产生辐射,所以需要有两项配套工程.①在科研所到宿舍楼之间修一条高科技的道路;②对宿含楼进行防辐射处理;已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y=ax+b(0≤x≤3).当科研所到宿舍楼的距离为1km时,防辐射费用为720万元;当科研所到宿含楼的距离为3km或大于3km时,辐射影响忽略不计,不进行防辐射处理,设修路的费用与x2成正比,且比例系数为m万元,配套工程费w=防辐射费+修路费.
(1)当科研所到宿舍楼的距离x=3km时,防辐射费y=____万元,a=____,b=____;
(2)若m=90时,求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时,配套工程费最少?
(3)如果最低配套工程费不超过675万元,且科研所到宿含楼的距离小于等于3km,求m的范围?
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【题目】若用“*”表示一种运算规则,我们规定:a*b=ab﹣a+b,如:3*2=3×2﹣3+2=5.以下说法中错误的是( )
A. 不等式(﹣2)*(3﹣x)<2的解集是x<3
B. 函数y=(x+2)*x的图象与x轴有两个交点
C. 在实数范围内,无论a取何值,代数式a*(a+1)的值总为正数
D. 方程(x﹣2)*3=5的解是x=5
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【题目】如图,已知双曲线(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知点A的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】A、B、C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.
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【题目】如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度CD=30m,则信号发射塔顶端到地面的高度FG为__米(结果精确到1m).
参考数据:sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.
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【题目】如图,已知△ABC,且∠ACB=90°.
(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明):
①以点A为圆心,BC边的长为半径作⊙A;
②以点B为顶点,在AB边的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系,并说明理由.
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