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【题目】如图,△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以4cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以3cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 s时,以C点为圆心,2cm为半径的圆与直线EF相切.

【答案】
【解析】解:当以点C为圆心,2cm为半径的圆与直线EF相切时,
此时,CF=2,
由题意得:AC=4t,BD=3t
∴OC=8﹣4t,OD=6﹣3t,
∵点E是OC的中点,
∴CE= OC=4﹣2t,
∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DOC
=
∴EF= =
由勾股定理可知:CE2=CF2+EF2
∴(4﹣2t)2=2 2+( 2
解得:t= 或t=
∵0≤t≤2,
∴t=
故答案为:
由题意可设AC=4t,BD=3t,以点C为圆心,2cm为半径的圆与直线EF相切,根据切线的性质可得∠EFC=∠O=90°,即可证△EFC∽△DOC,由相似三角形的性质可得= ,可求EF的长,在直角三角形CEF中用勾股定理可得关于t的值。

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