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    已知抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+4    上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如图，抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+4    与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
    （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？
    （1）抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+4    的对称轴为x=-
    b
    2×(-
    1
    2
    )
    =b    ；（1分）
    ∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，
    ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=
    (k+3)+(-k-1)
    2
    =1    ，且k≠-2；
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+x+4    ；（2分）


    （2）抛物线y=-
    1
    2
    x2+x+4    与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
    ∴AB=4
    		2
    ，AM=BM=2
    		2
    ；（3分）
    在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
    在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
    在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
    ∴∠BCM=∠AMD，
    ∴△BCM∽△AMD；（4分）
    ∴
    BC
    AM
    =
    BM
    AD
    ，即
    n
    2
    		2
    =
    2
    		2
    m
    ，n=
    8
    m
    ；
    故n和m之间的函数关系式为n=
    8
    m
    （m＞0）；（5分）

    （3）∵F（-k-1，-k2+1）在y=-
    1
    2
    x2+x+4    上，
    ∴将F代入函数解析式得：-
    1
    2
    (-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1    ，
    化简得，k2-4k+3=0，∴k1=1，k2=3；
    即F1（-2，0）或F2（-4，-8）；（6分）
    ①MF过M（2，2）和F1（-2，0），设MF为y=kx+b，
    则
    2k+b=2
    -2k+b=0
    ，解得
    k=
    1
    2
    b=1
    ；
    ∴直线MF的解析式为y=
    1
    2
    x+1    ；
    直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
    若MP过点F（-2，0），则n1=4-1=3，m1=
    8
    3
    ；
    若MQ过点F（-2，0），则m2=4-（-2）=6，n2=
    4
    3
    ；（7分）
    ②MF过M（2，2）和F2（-4，-8），设MF为y=kx+b，
    则
    2k+b=2
    -4k+b=-8
    ，解得
    k=
    5
    3
    b=-
    4
    3
    ；
    ∴直线MF的解析式为y=
    5
    3
    x-
    4
    3
    ；
    直线MF与x轴交点为（
    4
    5
    ，0），与y轴交点为（0，-
    4
    3
    ）；
    若MP过点F（-4，-8），则n3=4-（-
    4
    3
    ）=
    16
    3
    ，m3=
    3
    2
    ；
    若MQ过点F（-4，-8），则m4=4-
    4
    5
    =
    16
    5
    ，n4=
    5
    2
    ；（8分）
    故当
    m1=
    8
    3
    n1=3
    ，
    m2=6
    n2=
    4
    3
    ，
    m3=
    3
    2
    n3=
    16
    3
    或
    m4=
    16
    5
    n4=
    5
    2
    时，∠PMQ的边过点F．
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    如图①是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
    （1）求出拱桥的抛物线解析式；
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    如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．
    （1）画出△OAB关于点O成中心对称的△OA1B1，并写出点B1的坐标；
    （2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
    （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=nx2+4nx+m与x轴交于A（-1，0），B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于C，抛物线的顶点为D，且S△ABD=1，求抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．
    ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
    ②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （五005•枣庄）已知抛物线y=（1-0）x五+8x+b的图象的的部分八图所示，抛物的顶点在第的象限，且经过点0（0，-7）和点B．
    （1）求0的取值范围；
    （五）若O0=五OB，求抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-
    3
    4
    x与BC边相交于D点．
    （1）求点D的坐标；
    （2）若抛物线y=ax2-
    9
    4
    x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
    （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，在平面直角坐标系中，半径为2
    		2
    的⊙O′与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足为C．
    （1）判断△ABC的形状；
    （2）在
    BC
    上取一点D，连接DA、DB、DC，DA交BC于点E．求证：BD•CD=AD•ED；
    （3）延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数的解析式．

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