Question

1．几何模型：
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是$\sqrt{5}$；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，连接ED交AC于点P，此时PB+PE最小值是ED的长度，由勾股定理即可求出ED的长为$\sqrt{5}$；
（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，此时PA+PC的最小值为DC的长度，利用勾股定理即可求出DC的长度为$2\sqrt{3}$；
（3）要求△PQR周长的最小值，即求PR+QR+PQ的最小值即可，作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，此时PR+QR+PQ最小，且PR+QR+PQ=CD，即求出CD的长即可．

解答 解：（1）由题意知：连接ED交AC于点P，
此时PB+PE最小，最小值为ED，
∵点E是AB的中点，
∴AE=1，
由勾股定理可知：ED²=AE²+AD²=5，
∴ED=$\sqrt{5}$，
∴PB+PE的最小值为$\sqrt{5}$；

（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，
∴AD=4，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=2，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
∴由勾股定理可求得：CD=2$\sqrt{3}$，
∴PA+PC的最小值为2$\sqrt{3}$；

（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，
作点D，使得点P与点D关于OA对称，
连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，
此时PR+RQ+PQ最小，最小值为CD的长，
∵点P与点C关于OB对称，
∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，
同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，
∵∠BOP+∠POA=45°，
∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，
由勾股定理可知：CD=10$\sqrt{2}$，
∴△PQR周长的最小值为10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的轴对称的性质，涉及圆周角定理，轴对称性质，正方形的性质等知识，考查学生综合运用知识的能力．