Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；
（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

Answer 1

【答案】分析：（1）解本题时可先设出二次函数的方程，然后根据所给的条件可得出抛物线上的两点，代入函数解析式计算即可．
（2）本题根据观察可知OB的表达式为：y=x，由此可设点E的坐标为（m，m），再根据点E在抛物线上，将E点的坐标代入抛物线解析式，化简即可得出E点的坐标．根据两点之间的距离公式即可得出OE的长，再根据EG=GF-EF即可得出EG的长，比较即可得出答案．
（3）本题可先设出H点的坐标，由H点在抛物线上列出关于H点坐标的方程，再根据勾股定理OH²=OI²+HI²得出OH关于H点坐标的式子，根据OK=OH可得出CK的长，证明CK=IH，最后根据三角形相似定理HL即可证出两三角形全等．
解答：（1）解：由题意，设抛物线的解析式为：y=ax²+b．
将点D的坐标（0，1），点A的坐标（2，0）代入，
得：a=-，b=1．
所求抛物线的解析式为y=-x²+1．

（2）解：由于点E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上，
设点E的坐标为（m，m）（0＜m＜2），
则m=-m²+1．
解得m₁=2-2，m₂=-2-2（舍去）．
所以OE=m=4-2．
所以EG=GF-EF=2-m=2-（2-2）=4-2．
所以OE=EG．

（3）证明：设点H的坐标为（p，q）（0＜p＜2，0＜q＜2），
由于点H在抛物线y=-x²+1上，
所以q=-p²+1，
即p²=4-4q．
因为OH²=OI²+HI²=p²+q²=4-4q+q²=（2-q）²，
所以OH=2-q．
所以OK=OH=2-q．
所以CK=2-（2-q）=q=IH．
因为CJ=OI，∠OIH=∠JCK=90°，
所以△OHI≌△JKC．
点评：本题考查了二次函数的应用．解此类题目时要注意学会假设未知数，结合勾股定理和三角形相似的性质来解．