Question

【题目】已知抛物线y＝﹣﹣15有最高点（0，1），过点C（0，2）的直线l平行于x轴，O为坐标原点．

（1）求m的值；

（2）求证：该抛物线上的任意一点到原点O的距离都等于这个点到直线l的距离；

（3）若点P，Q是抛物线上的任意两点，且PQ＝9，点G是线段PQ的中点，求点G到直线l距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m＝4；（2）见解析；（3）4.5

【解析】

（1）由抛物线的顶点坐标为（0，1），可得m的值；

（2）设抛物线上的任意一点M（），则OM＝，过点M作MN⊥l于N，可得MN＝＝OM，则结论得证；

（3）过点Q作QA⊥l于A，过点P作PB⊥l于B交l′于D，取DQ中点E，连接GE并延长交l于F，可得GF＝（AQ+BP），则GF＝（OQ+OP），当点O，P，Q在同一直线上时，OQ+OP最小，求出点G到直线l距离的最小值为4.5．

（1）∵抛物线的最高点为（0，1），

∴，

解得：m＝4；

（2）由（1）得抛物线的解析式为，

设抛物线上的任意一点M（），

则OM＝

＝

＝

＝，

过点M作MN⊥l于N，则MN＝＝OM，

∴抛物线上的任意一点到原点O的距离都等于这个点到直线l的距离；

（3）将直线l向下平移，使其经过点Q，设平移后的直线为l′，

如图，过点Q作QA⊥l于A，过点P作PB⊥l于B交l′于D，取DQ中点E，连接GE并延长交l于F，

∵EG是△QDP的中位线，

∴GE∥DP，且EG＝，

∴GE⊥l′，

易证：EF＝AQ＝BD，

∴GF＝EF+EG＝（AQ+BD+DP），

＝（AQ+BP），

由（2）得：AQ＝OQ，BP＝OP

∴GF＝（OQ+OP），

∵当点O，P，Q在同一直线上时，OQ+OP最小，且最小值等于PQ＝9，

∴，

∴点G到直线l距离的最小值为4.5．