Question

已知二次函数y₁=x²-2x-3．
（1）结合函数y₁的图象，确定当x取什么值时，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根据（1）的结论，确定函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件？

Answer 1

分析：（1）由函数图象可以很容易的得出y₁＞0，y₁=0，y₁＜0时x所取的值；
（2）由图象可以看出，当x≤-1或x≥3时，|y₁|=y₁；当-1＜x＜3时，|y₁|=-y₁，则可分段确定出y₂关于x的解析式；
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y₂的图象有三个交点，只需一次函数的图象与函数y₂的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点即可．

解答：解：（1）画出函数y₁=x²-2x-3的图象，
利用它的图象可知：当x＜-1或x＞3时，y₁＞0；
当x=-1或x=3时，y₁=0；
当-1＜x＜3时，y₁＜0；

（2）根据（I）的结论，可得
当x≤-1或x≥3时，|y₁|=y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（y₁-y₁）=0，
当-1＜x＜3时，|y₁|=-y₁，
于是函数y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（-y₁-y₁）=-y₁
∴函数y₂关于x的解析式为y2=

0(x≤-1或x≥3) -x2+2x+3(-1＜x＜3)

；

（3）由题设条件，k≠0时，一次函数y=kx+b的图象与函数y₂的图象有三个交点，
只需一次函数的图象与函数y₂的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点，
即方程组

y=kx+b y=-x2+2x+3(-1＜x＜3)

有两个不等的实数根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）的图象与x轴的两个交点在-1＜x＜3范围
内．此时，应同时满足以下三个条件：
①判别式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜

1

4

(k-2)2+3，
②二次函数y=x²+（k-2）x+（b-3）图象的对称轴为x=

k-2

2

满足-1＜-

k-2

2

＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③当x=-1与x=3时，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函数值均应大于0，
即

(-1)2+(k-2)×(-1)+(b-3)＞0 9+3(k-2)+(b-3)＞0

解得

b＞k b＞-3k

∴当k＞0时，有b＞k；
当k＜0时，有b＞-3k．
综上，由（1）（2）（3）知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y₂的图象有三个不
同的交点时，应满足

-4＜k＜0 -3k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

或

0＜k＜4 k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

．

点评：本题考查了由函数图象确定函数解析式以及直线与抛物线的交点问题，体现了数形结合的思想．