Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90⁰。
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC。
∴∠BAC=∠ADC=90°。∴BA⊥AC。
又∵AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线。
（2）∵△ADC∽△BAC（已证），∴。
∵BD=5，CD=4，∴BC=9。∴，解得：AC=6。
∴在Rt△ACD中，，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6。∴DF=CA－CD=2。
∴在Rt△AFD中，。

（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90⁰，从而可判断AC是⊙O的切线。
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长。