Question

如图所示，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．
（1）用尺规作图：做线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设直线l交AC于D，求证：AD•AB=AH•AC．

Answer 1

分析：（1）分别以A为端点，以大于AB/2长为半径，在线段两侧分别作弧；再以B为端点，仍以大于AB/2长为半径，在线段两侧分别作弧，并与已作两弧交于两点，过两点作一条直线，则为线段AB的垂直平分线；
（2）根据HD是AB的垂直平分线知，AH=BH，HD⊥AB，所以AH=

1

2

AB，HD是直角三角形ABC的中位线，利用中位线定理求得HD=

1

2

BC，∠AHD=∠ABC=90°从而证明△AHD∽△ABC（SAS）；最后由相似三角形的对应边成比例来证明AD•AB=AH•AC．

解答：解：（1）AH=BH，HD⊥AB；

（2）证明：∵HD⊥AB，∠ABC=90°，
∴HD∥BC；
又∵AH=BH，
∴

AH

AB

=

HD

BC

=

1

2

；
在△AHD与△ABC中，

AH

AB

=

HD

BC

，
∠AHD=∠ABC=90°，
∴△AHD∽△ABC（SAS），
∴

AD

AC

=

AH

AB

（相似三角形的对应边成比例），
∴AD•AB=AH•AC．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质．解答此题时，利用了三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质．