Question

6．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=4，则BE的最小值为2$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 方法1：先将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，根据旋转的性质，即可得到△BCP≌△FCE（SAS），进而得出∠BHF=90°，据此可得点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，再根据当点E与点H重合时，BE=BH最短，求得BH的值即可得到BE的最小值．
方法2：连接PD，依据SAS构造全等三角形，即△BCE≌△DCP，将BE的长转化为PD的长，再依据垂线段最短得到当DP最短时，BE亦最短，根据∠O=30°，OD=4+4$\sqrt{3}$，即可求得DP的长的最小值．

解答 解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，
∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，
∴∠PCE=90°，PC=EC，
∴∠BCP=∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=FC}\\{∠BCP=∠FCE}\\{PC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△FCE（SAS），
∴∠CBP=∠CFE，
又∵∠BCF=90°，
∴∠BHF=90°，
∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，
∵BH⊥EF，
∴当点E与点H重合时，BE=BH最短，
∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$BC=2，BP=$\sqrt{3}$CP=2$\sqrt{3}$，
又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，
∴正方形CPHE中，PH=CP=2，
∴BH=BP+PH=2$\sqrt{3}$+2，
即BE的最小值为2$\sqrt{3}$+2，
故答案为：2$\sqrt{3}$+2．

 解法2：如图，连接PD，
由题意可得，PC=EC，∠PCE=90°=∠DCB，BC=DC，
∴∠DCP=∠BCE，
在△DCP和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCP=∠BCE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△BCE（SAS），
∴PD=BE，
当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，
∵∠AOB=30°，AB=4=AD，
∴OD=OA+AD=4$\sqrt{3}$+4，
∴当DP⊥OM时，DP=$\frac{1}{2}$OD=2$\sqrt{3}$+2，
∴BE的最小值为2$\sqrt{3}$+2．
故答案为：2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行判断．