【题目】如图,P为⊙O外一点,PA、PB均为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直径.
求证:(1)∠APB=2∠ABC;
(2)AC∥OP.
【答案】(1)证明见解析(2)见解析
【解析】
(1)连接OA, ∠OAP=∠OBP=90°,然后求出 PO垂直AB,从而导出∠APB=2∠ABC;
(2) 连接AB交PO于F,根据切线的性质得到PO垂直平分AB,再根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=90°,于是∠CAB=∠OFB,所以AC∥OP.
(1)连接AO,
∵PA、PB均为⊙O的切线,A和B是切点,∴∠APO=∠BPO,OA⊥AP,PA=PB,
∴∠APB=2∠APO,∠OAP=90°,PO⊥AB,∴∠OAB+∠BAP=90°,∠BAP+∠APB=90°,
∴∠OAB=∠APB,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB,∴∠OBA=∠APO,∴∠APB=2∠ABC;
(2)设AB交OP于F,∵PA,PB是圆的切线,∴PA=PB,∵OA=OB ∴PO垂直平分AB.
∴∠OFB=90°.∵BC是直径,∴∠CAB=90°.∴∠CAB=∠OFB.∴AC∥OP.
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【题目】若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由.
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【题目】对一批西装质量抽检情况如下表:
(1)从这批西装中任选一套,是次品的概率是多少?
(2)若要销售这批西装2000件,为了方便购买了次品西装的顾客前来调换,至少应进多少件西装?
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【题目】如图是置于水平地面上的一个球形储油罐,小敏想测量它的半径、在阳光下,他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(如示意图,AB=10米);同一时刻,他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米,那么,球的半径是________米.
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【题目】每年的农历三月初一为通州风筝节.这天,小刘同学正在江海明珠广场上放风筝,如图风筝从A处起飞,几分钟后便飞达C处,此时,在AQ延长线上B处的小宋同学,发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
(1)已知旗杆高为10米,若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°,A处测得点P的仰角为45°,试求A、B之间的距离;
(2)此时,在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,若绳子在空中视为一条线段,求绳子AC为多少米?(结果可保留根号)
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?(1) r=2cm;(2) r=2.4cm;(3) r=3cm.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣5,1),B(﹣2,2),C(﹣1,4),请按下列要求画图:
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2,并直接写出点A2的坐标.
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【题目】如图,将半径为4,圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°,点B、C的对应点分别为点D、E且点D刚好在上,则阴影部分的面积为_____.
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【题目】如图,某人在D处测得山顶C的仰角为37°,向前走100米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=1:0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).
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