Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点 A、C关于原点O对称，分别过点A、C作x轴的垂线，它们与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点B、D，连结AD、BC，若C点的坐标为（m，0）
（1）则A点的坐标是（-m，0）；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）延长DA交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于另一点E（-10，-4），若m=5，在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，是否存在点P，使得△ADP的面积等于△ABO的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称的性质即可解答；
（2）将B、C横坐标代入反比例函数解析式，求出AB、CD的长，再根据AB∥CD判断出四边形ABCD是平行四边形；
（3）作P₁H⊥AD的延长线于H，将E（-10，-4）代入数y=$\frac{k}{x}$得k=40，函数解析式为y=$\frac{40}{x}$，当m=5时，A（-5，0），C（5，0），将x=-5代入y=$\frac{40}{x}$得，y=-8，则B（-5，-8），同理可得，D（5，8）．求出AD解析式，然后根据根据点到直线的距离公式得$\frac{|\frac{4}{5}x-\frac{40}{x}+4|}{\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，求出P点坐标即可．

解答 解：（1）∵点 A、C关于原点O对称，A点的坐标为（m，0），
∴A（-m，0），
故答案为（-m，0）；

（2）将x=-m，x=m分别代入解析式得，y=-$\frac{k}{m}$，y=$\frac{k}{m}$，
可知，AB=$\frac{k}{m}$，DC=$\frac{k}{m}$，
则AB=DC，
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）作P₁H⊥AD的延长线于H，
将E（-10，-4）代入数y=$\frac{k}{x}$得k=40，
函数解析式为y=$\frac{40}{x}$，
当m=5时，A（-5，0），C（5，0），将x=-5代入y=$\frac{40}{x}$得，y=-8，
则B（-5，-8），同理可得，D（5，8）．
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×5×8=20，
AD=$\sqrt{（5+5）^{2}+（8-0）^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
则$\frac{1}{2}$AD•P₁H=40，
即$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{41}$•P₁H=40，
解得，P₁H=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，
设AD解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），D（5，8）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-5k+b=0\\ 5k+b=8\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{5}\\ b=4\end{array}\right.$，
函数解析式为y=$\frac{4}{5}$x+4，
设P₁（x，$\frac{40}{x}$），
根据点到直线的距离公式得$\frac{|\frac{4}{5}x-\frac{40}{x}+4|}{\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，
两边平方得（$\frac{4}{5}$x-$\frac{40}{x}$+4）²=$\frac{1600}{41}$×$\frac{41}{25}$=64，
整理得，①x²-5x-50=0，解得，x₁=10，x₂=-5，
可得P₁（10，4），P₄（-5，-8）（与B重合）；
②x²+15x-50=0，解得，x₁=$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，x₂=$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$；
可得P₂（$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60+4\sqrt{445}}{11}$），P₃（$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60-4\sqrt{445}}{11}$）．
综上所述，P点坐标为：P₁（10，4），P₂（$\frac{-15+\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60+4\sqrt{445}}{11}$），P₃（$\frac{-15-\sqrt{445}}{2}$，$\frac{60-4\sqrt{445}}{11}$），P₄（-5，-8）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及中心对称、平行四边形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式等知识，综合性强，是一道好题．