Question

17．抛物线y=x²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），一元二次方程x²+bx+c-1=0的两根为m，n（m＜n），则下列说法错误的是（　　）

• A． b²＞4c
• B． x₁+x₂＞m+n
• C． x₁x₂＞mn
• D． m＜x₁＜x₂＜n

Answer 1

分析 依题意画出函数y=（x-x₁）（x-x₂）和y=1的图象草图，根据二次函数的增减性求解．

解答 解：∵抛物线y=x²+bx+c与x轴有两个交点，
∴b²-4c＞0，
即b²＞4c，故A正确；
∵y=x²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=-b，m+n=-b，x₁x₂=c，mn=c-1，
∴x₁+x₂=m+n，x₁x₂＞mn，故B错误，C正确，
依题意，画出函数y=（x-x₁）（x-x₂）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n（m＜n），
方程的两根是抛物线y=（x-x₁）（x-x₂）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜x₁；在对称轴右侧，y随x增大而增大，
则有x₂＜n．
综上所述，可知m＜x₁＜x₂＜n，故D正确，
故选B．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．