Question

3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，交AB、AC于E、G．
（1）求证：DF²=BF．CF；
（2）如果AC：AB=4：5，求CF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线的性质得出AF=DF，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出即可．

解答 证明：（1）连接AF，
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于F，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{CF}{AF}$，
∴AF²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{CF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{AF}$，
即$\frac{A{C}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{{4}^{2}}{{5}^{2}}$=$\frac{16}{25}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．