Question

如图，双曲线与直线l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一个公共点A，AC⊥x轴于C，直线l交x轴于点B．
（Ⅰ）求点A的横坐标；
（Ⅱ） 已知△ABC的面积等于1，若有一动点从原点开始移动，假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l上的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）先联立一次函数与反比例函数的解析式即可得出关于x的一元二次方程，再根据△=0即可得出b=2k，把b=2k代入关于x的一元二次方程即可得出x的值，进而得出A点的横坐标；
（2）由b=2k可得出直线l的方程，故可得出B点坐标，由S_△ABC=AC•BC=1可得出k的值，故可得出直线l的方程，列举出动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位移动三次时所有可能的结果，再求出该点在直线l上的概率即可．
解答：解：（Ⅰ）联立，得 kx²-bx+k=0．
∵双曲线与直线有且只有一个公共点A，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∵b＞0，k＞0，
∴b=2k，
∴kx²-2kx+k=0，k（x-1）²=0．
解得：x=1，即A点横坐标为1；

（Ⅱ）∵b=2k，
∴直线l的方程为y=-kx+2k，
令y=0得：l与x轴交点B为（2，0），
∴OB=2．
又∵A（1，k），AC⊥x轴，
∴OC=1，AC=k，BC=2-1=1．
又∵S_△ABC=AC•BC=1，即•k•1=1，解得：k=2．
∴直线l的方程为 y=-2x+4，
∴动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位，有8种可能结果：（右，右，右）、（右，右，上）、（右，上，右）、（右，上，上），（上，右，右）、（上，右，上）、（上，上，右）、（上，上，上）．
其对应的坐标分别是：（3，0）、（2，1）、（2，1）、（1，2）、（2，1）、（1，2）、（1，2）、（0，3）．
其中恰好在直线l：y=-2x+4上的共有3种，
∴该点在直线l上的概率P=．
点评：本题考查的是反比例函数综合题及概率公式、一元二次方程根的判别式，先根据题意得出b与k的关系是解答此题的关键．