Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB=

4

3

，∠ACB=45°，AD=2，求DC的长．

Answer 1

分析：首先作辅助线：过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC，交BC于F，然后在Rt△AEB中，由三角函数可得AE与BE的关系，由勾股定理即可求得AE与BE的值；又由四边形ADCF是平行四边形，易得CF与EF的长，在Rt△AEF中，由勾股定理求得AF的长，则求得DC的长．

解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC，交BC于F，
∴在Rt△AEB中，∠AEB=90°，tanB=

AE

BE

，
∵tanB=

4

3

，
∴

AE

BE

=

4

3

，
设AE=4x，则BE=3x，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（4x）²+（3x）²=5²，
∴x=1，
∴AE=4，BE=3，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=EC=4，
∵AF∥DC，AD∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴AF=CD，CF=AD，
∵AD=2，
∴CF=2，
∴EF=CE-CF=4-2=2，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，由勾股定理得：AF=2

5

，
∴DC=2

5

．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理、三角函数的性质等．此题综合性比较强，解题时需要仔细分析，充分识图．