Question

4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE；
（2）求证：BD=CE；
（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠DOB=∠A，由于∠ABE=∠ABE，于是得到结论；
（2）延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，根据等腰三角形的性质得到∠BDF=∠BFD，根据三角形的外角的性质得到∠BDF=∠BEC，于是得到∠BFD=∠BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）取BC的中点G，连接GM，GN，根据三角形中位线的性质得到GM∥CE，GM=$\frac{1}{2}$CE，GN∥BD，GN=$\frac{1}{2}$BD，根据平行线的性质得到∠2=∠4，∠3=∠1，等量代换得到∠1=∠2，于是得到AP=AQ．

解答 （1）证明：∵∠BCO=∠CBO，
∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，
∵∠A=2∠BCO，
∴∠DOB=∠A，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△BOD∽△BAE；

（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，
∴∠BDF=∠BFD，
∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，
由（1）得∠BOD=∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEC，
在△BFC与△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠BEC}\\{∠BCO=∠CBO}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△CEB，
∴BD=BF，
∴BD=CE；

（3）解：AP=AQ，
理由：取BC的中点G，连接GM，GN，
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴GM，GN是中位线，
∴GM∥CE，GM=$\frac{1}{2}$CE，GN∥BD，GN=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=CE，
∴GM=GN，
∴∠3=∠4，
∵GM∥CE，
∴∠2=∠4，
∵GN∥BD，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AP=AQ．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．