【题目】如图,二次函数的图象交轴于、两点,交轴于点,点的坐标为,顶点的坐标为.
(1)求二次函数的表达式和直线的表达式;
(2)点是直线上的一个动点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,当点在第一象限时,求线段长度的最大值;
(3)在抛物线上存在异于、的点,使中边上的高为,请直接写出点的坐标.
【答案】(1);;(2);(3),
【解析】
(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;
(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.
解:(1)设二次函数的表达式为.
点在该二次函数的图象上,
,
解得,
∴,
该二次函数的表达式为.
因为点在轴上,所以可令,解得.
设直线的表达式为,
把代入得,解得,
直线BD的表达式为.
(2)如图:
设点的横坐标为,则,
∴.
∵,则当时,PM有最大值,
的最大值为.
(3)如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H
设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),
∴QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,
∴∠HGQ=∠BGE=45°,
当△BDQ中BD边上的高为时,即QH=HG=,
∴QG==4,
∴|-x2+3x|=4,
当-x2+3x=4时,△=9-16<0,方程无实数根,
当-x2+3x=-4时,解得x=-1或x=4,
∴点的坐标为:,;
∴综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(-1,0)或(4,-5).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数(单位:),如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述正确的是( )
A.当行驶速度为时,每消耗1升汽油,甲车能行驶
B.消耗1升汽油,丙车最多可行驶
C.当行驶速度为时,每消耗1升汽油,乙车和丙车行驶的最大公里数相同
D.当行驶速度为时,若行驶相同的路程,丙车消耗的汽油最少
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下列材料:阅读下列材料:在《北京城市总体规划(2004 年—2020 年)》中,房山区被确定为城市发展新区和生态涵养区,承担着首都经济发展、生态涵养、人口疏解和休闲度假等功能.
近年来房山区地区生产总值和财政收入均稳定增长.2011 年房山区地方生产总值是 416.0 亿元;2012 年是科学助力之年,地方生产总值 449.3 亿元,比上一年增长8.0%;2013 年房山努力在区域经济发展上取得新突破,地方生产总值是 481.8 亿元,比上年增长 7.2% ;2014 年房山区域经济稳中提质,完成地方生产总值是 519.3 亿元,比上年增长 7.8%;2015 年房山区统筹推进稳增长,地区生产总值是 554.7 亿元,比上年增长了 6.8%;2016 年经济平稳运行,地区生产总值是 593 亿元,比上年增长了 6.9%.根据以上材料解答下列问题:
(1)选择折线图或条形图将 2011 年到 2016 年的地方生产总值表示出来,并在图中标明相应数据;
(2)根据绘制的统计图中的信息,预估 2017 年房山区地方生产总值是___亿元,你的预估理由是____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,边AB在x轴上,BC边上的中线AD的反向延长线交y轴于点E(0,3),反比例函数y=(x>0)的图象过点C,则k的值为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】综合与探究:
如图1,Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点,点A在y轴正半轴上,点B在x轴正半轴上,OA=4,OB=2.将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,过点C作CD⊥x轴于点D,抛物线y=ax2+3x+c经过点C,与y轴交于点E(0,2),直线AC与x轴交于点H.
(1)求点C的坐标及抛物线的表达式;
(2)如图2,已知点G是线段AH上的一个动点,过点G作AH的垂线交抛物线于点F(点F在第一象限).设点G的横坐标为m.
①点G的纵坐标用含m的代数式表示为 ;
②如图3,当直线FG经过点B时,求点F的坐标,判断四边形ABCF的形状并证明结论;
③在②的前提下,连接FH,点N是坐标平面内的点,若以F,H,N为顶点的三角形与△FHC全等,请直接写出点N的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,(点E不与C、D重合)且CD=nDE, F为AD上一动点,且AE⊥FG于点H.
(1)如图1,求证:AE=FG;
(2)延长FG、AB相交于点P,且AH=EH;
①n=3,求证:FH+PG=HG;
②若G是PH的中点,直接写出n的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式;
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,DO=BO,过点C作CE⊥AC,交BD的延长线于点E,交AD的延长线于点F,且满足∠DCE=∠ACB.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)求证:.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com