【题目】在平行四边形中,,点在平行四边形的边上,且,连接,若,,则线段的长为__________.
【答案】或
【解析】
根据题意,P点可能在AD边上,也可能再CD边上,分情况画出图形,通过三角函数知识解直角三角形即可求解.
解:如图,当点P在AD边上时,过点A作AE⊥BD交BD于E,
∵为四边形,,
∴AD∥BC,AD=BC,∠BAD=120°,
∵,,,
∴AD=3,
∴AP=3-2=1,
∴AB=AP,
∴AE平分∠BAD,BE=PE=,
∴∠1=∠2=60°,
∴,
∴BP=2BE=;
如图,当点P在边DC上时,过点P作PF垂直于BC的延长线,垂足为F,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB=DC=2,
∴∠D=∠PCF=60°,
∵,
∴PC=2-1=1,
∴,
,
∵,
∴BF=,
∴,
综上:的长为或,
故答案为:或.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线与轴交于点,点,与轴交于点,连接,点在第二象限的抛物线上,连接,线段交线段于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若的面积为,的面积为当时,求点的坐标;
(3)已知点关于抛物线对称轴的对称点为点,连接,点在轴上,当时,
①求满足条件的所有点的坐标;
②当点在线段上时,点是线段外一点,,连接,将线段绕着点顺时针旋转,得到线段,连接,直接写出线段的取值范围.
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【题目】阅读下面材料,完成(1)、(2)题.
数学课上,老师出示了这样一道题:中,,,交于点,点在的延长线上,且,平分交于点,垂足为,探究线段与的数量关系,并证明.
同学们经过思考后,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小强:“通过观察和度量,发现图中还有其它相等线段.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段与的数量关系.”
……
老师:“此题还有其它解法,同学们课后可以继续探究,互相交流.”
……
(1)求证:;
(2)探究线段与的数量关系(用含的代数式表示),并证明.
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【题目】如图,四边形内接于,对角线为的直径,过点作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求证:DF是的切线;
(2)若,求的值.
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【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点、(左右),与轴交于点,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点在第一象限抛物线上,连接,若,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,如图3,过点作轴,线段经过点,与抛物线交于点,连接、,,点在线段上,连接,交于点,点在上,连接,交于点,若,,,求点的坐标.
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠ABO=30°,BO=4,分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.
(1)如图①当E点恰好落在线段AB上时,求E点坐标;
(2)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y,当E点到达△AOB的外面,且点D在点B左侧时,写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移如图②,图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段?如果存在,请直接指出这条线段;如果不存在,请说明理由.
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【题目】定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”.
(概念感知)
(1)如图1,在中,,,,试判断是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
(问题探究)
(2)如图2,是“准黄金”三角形,BC是“金底”,把沿BC翻折得到,连AB接AD交BC的延长线于点E,若点C恰好是的重心,求的值.
(拓展提升)
(3)如图3,,且直线与之间的距离为3,“准黄金”的“金底”BC在直线上,点A在直线上.,若是钝角,将绕点按顺时针方向旋转得到,线段交于点D.
①当时,则_________;
②如图4,当点B落在直线上时,求的值.
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【题目】对于⊙P及一个矩形给出如下定义:如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A的坐标为(,),顶点C、D在x轴上,且OC=OD.
(1)当⊙P的半径为4时,
①在P1(,),P2(,),P3(,)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ;
②如果点P在直线上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,求点P的坐标;
(2)已知点P在轴上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,如果⊙P与直线AD没有公共点,直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
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