Question

如图，在△ABC中，点P是AC边上的一个动点（异于A、C两点），过点P作PD∥AB交BC于点D，过点P作PE∥BC交AB于点E．
（1）求证：

AE

BE

=

BD

DC

；
（2）若△PAE、△PCD的面积分别为4、9，求

AP

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）有平行线可得对应线段的比值相等：

AE

BE

=

AP

PC

和

AP

PC

=

BD

DC

，问题得证．
（2）若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方，根据这一性质可先求的△PAE与△PCD相似，进而求得

AP

AC

的值．

解答：（1）证明：∵PE∥BC，
∴

AE

BE

=

AP

PC

，
∵PD∥AB，
∴

AP

PC

=

BD

DC

，
∴

AE

BE

=

BD

DC

；

（2）解：∵PE∥BC，PD∥AB，
∴∠APE=∠C，∠A=∠DPC，
∴△AEP∽△PDC，
∴

S△AEP

S△PDC

=(

AP

PC

)2，
即

4

9

=(

AP

PC

)2，
∴

AP

PC

=

2

3

，
∴

AP

AC

=

2

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，常用的相似判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．