【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
【答案】(1);(2)存在;(3)1.
【解析】试题分析:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组,解方程组即可得二次函数的表达式;
(2)先求出点B的坐标,再根据勾股定理求得BC的长,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;分别根据这三种情况求出点P的坐标;
(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t,把解析式化为顶点式,根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积;此时点M在D点,点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.
试题解析:解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,
解得:b=﹣4,c=3,
∴二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3;
(2)令y=0,则x2﹣4x+3=0,
解得:x=1或x=3,
∴B(3,0),
∴BC=3,
点P在y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,
①当CP=CB时,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1(0,3+3),P2(0,3﹣3);
②当PB=PC时,OP=OB=3,
∴P3(﹣3,0);
③当BP=BC时,
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合,
∴P4(0,0);
综上所述,点P的坐标为:(0,3+3)或(0,3﹣3)或(﹣3,0)或(0,0);
(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t,
∴S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,
当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.
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【题目】如图,△ABC为任意三角形,以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE,连接CD、BE并相交于点P.求证:
(1)CD=BE;
(2)∠BPC=120°.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于点F,交AC于点E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:①∠AOB=90°+∠C;②AE+BF=EF;③当∠C=90°时,E、F分别是AC、BC的中点;④若OD=CE+CF=则S△CEF=,其中正确的是______________
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【题目】(1)如图,在矩形ABCD中.点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:AO=OB.
(2)如图,AB是的直径,PA与相切于点A,OP与相交于点C,连接CB,∠OPA=40°,求∠ABC的度数.
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【题目】如图在△ABC中,∠C=900,BC=AB,BD平分∠ABC,BD=2,则以下结论错误的是 ( )
A. 点D在AB的垂直平分线上 B. 点D到AB的距离为1
C. 点A到BD的距离为2 D. 点B到AC的距离为
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【题目】如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC=70°,求∠DOE和∠EOF的度数;
(2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角.
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【题目】近年来,各地“广场舞”噪音干扰的问题备受关注,相关人员对本地区15﹣65岁年龄段的500名市民进行了随机调查,在调查过程中对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种:A:没影响;B:影响不大;C:有影响,建议做无声运动,D:影响很大,建议取缔;E:不关心这个问题,将调查结果绘统计整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空m= ,态度为C所对应的圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)若全区15﹣65岁年龄段有20万人,估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为B的市民人数;
(4)若在这次调查的市民中,从态度为A的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15﹣35岁的概率是多少?
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,∠BDC=30°,DC=4,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,且E、F恰好是BD的三等分点,AE、CF的延长线分别交DC、AB于N、M点,那么四边形MENF的面积是( )
A.B.C.2D.2
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【题目】如图,小明在大楼45米高(即PH=45米,且PH⊥HC)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的
坡度i(即tan∠ABC)为1: .(点P、H、B、C、A在同一个平面上
点H、B、C在同一条直线上)
(1)∠PBA的度数等于________度;
(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据: ≈1.414, ≈1.732).
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