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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式;

(2)y轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;

(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M 达点B时,点MN同时停止运动,问点MN运动到何处时,MNB面积最大,试求出最大面积.

【答案】(1);(2)存在;(3)1.

【解析】试题分析:(1)把A10)和C03)代入y=x2+bx+c得方程组,解方程组即可得二次函数的表达式;

2)先求出点B的坐标,再根据勾股定理求得BC的长,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB②BP=BC③PB=PC;分别根据这三种情况求出点P的坐标;

3)设AM=tDN=2t,由AB=2,得BM=2﹣tS△MNB=×2﹣t×2t=﹣t2+2t,把解析式化为顶点式,根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积;此时点MD点,点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

试题解析:解:(1)把A10)和C03)代入y=x2+bx+c

解得:b=﹣4c=3

二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3

2)令y=0,则x2﹣4x+3=0

解得:x=1x=3

∴B30),

∴BC=3

Py轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1

CP=CB时,PC=3∴OP=OC+PC=3+3OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P103+3),P203﹣3);

PB=PC时,OP=OB=3

∴P3﹣30);

BP=BC时,

∵OC=OB=3

此时PO重合,

∴P400);

综上所述,点P的坐标为:(03+3)或(03﹣3)或(﹣30)或(00);

3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t

∴S△MNB=×2﹣t×2t=﹣t2+2t=﹣t﹣12+1

当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

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