Question

4．如图，抛物线y=ax²-2ax-3a交y轴于A点，交x轴于B，C两点（B在C右边），顶点为D．
（1）写出B，C，A，D四点的坐标（其中A，D两点的坐标用含a的式子表示）；
（2）当OA=OB时，求抛物线的解析式；
（3）若以A，B，D为顶点的三角形为直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0求得点A的坐标，令y=0来求点B、C的坐标；把抛物线方程转化为顶点式，直接写出点D的坐标；
（2）当OA=OB时，则OA=OB=3，得到-3a=3，a=-1，从而得到解析式；
（3）分情况讨论，若A、B、D分别为直角顶点时，用勾股定理列方程解答．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a，
∴当x=0时，y=-3a，
∴与y轴交点A的坐标为（0，-3a）．
∵抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于B，C两点（B在C右边），
∴a≠0，
令y=0，解得x=3或-1，
∴B（3，0），C（-1，0），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴顶点D的坐标为（1，-4a）；
（2）∵OA=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3．
（3）∵顶点D坐标为（-1，-4a），A的坐标为（0，-3a），B（3，0），
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4a，OE=1，BE=OB-OE=2
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，AF=OF-OA=4a-3a=a．
由勾股定理得
AB²=OA²+OB²=9a²+9；
AD²=AF²+DF²=a²+1；
BD²=DE²+BE²=16a²+4，
∵△ACD为直角三角形，
①若点B为直角顶点，则AB²+BD²=AD²，
即：（9a²+9）+（16a²+4）=a²+1，
整理得：a²=-$\frac{1}{2}$，
∴此种情形不存在；
②若点D为直角顶点，则AD²+BD²=AB²，
即：（16a²+4）+（a²+1）=9a²+9，
整理得：a²=$\frac{1}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③若点A为直角顶点，则AB²+AD²=BD²，
即：（9a²+9）+（a²+1）=16a²+4，
整理得：a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
综上所述，当a=1或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△ADC为直角三角形．

点评 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理应用．在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．