Question

如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，CD与AE相交于点F，点G在边BC上，DG∥AE，CE=1，BE=3，BD=2，AD=4．
（1）求GE的长；
（2）求

EF

FA

的值；
（3）设DG=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析：（1）由BD=2，AD=4，即可求得BA的长，又由DG∥AE，根据平行线分线段成比例定理，即可求得

GE

BE

=

AD

BA

，继而求得GE的长；
（2）由DE∥AE，CE=1，CG=CE+GE=3，根据平行线分线段成比例定理，即可求得

EF

DG

=

CE

CG

=

1

3

，根据比例的性质，即可求得

EF

FA

的值；
（3）首先易证△BGD∽△BDC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得

CF

CD

=

CE

CG

=

1

3

，继而求得y关于x的函数解析式．

解答：解：（1）∵DG∥AE，
∴

GE

BE

=

AD

BA

．（2分）
去分母得：GE•BA=AD•BE，
两边都除以AB得：GE=

BE•AD

BA

，
∵BE=3，BD=2，AD=4，
∴BA=6，
∴GE=

BE•AD

BA

=

3×4

6

=2．（2分）

（2）∵DG∥AE，CE=1，CG=CE+GE=3，
∴

EF

DG

=

CE

CG

=

1

3

，（2分）
∵

DG

AE

=

BD

BA

=

2

6

=

1

3

．（1分）
∴

EF

AE

=

1

9

，（1分）
∴

EF

FA

=

1

8

．（1分）

（3）∵BG=BE-GE=3-2=1，BC=BE+CE=4，
∴

BG

BD

=

1

2

，

BD

BC

=

2

4

=

1

2

．
∴

BG

BD

=

BD

BC

，（1分）
∵∠B=∠B，
∴△BGD∽△BDC．（1分）
∴

DG

DC

=

BG

BD

=

1

2

，
∵DG=x，
∴DC=2x．（1分）
∵EF∥DG，
∴

CF

CD

=

CE

CG

=

1

3

，
∴

y

2x

=

1

3

，
∴y=

2

3

x．（1分）
∴定义域为1＜x＜3．（1分）

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．