Question

15．如图，△ABC中，D为BC上一点，E为AB中点，连接CE、DE，已知AD与EC交于点F，AC=EC，DE⊥AB．
（1）求证：∠CAD=∠BCE；
（2）求证：EF=CF．

Answer 1

分析 （1）延长AC，ED交于P，连接PB，由E为AB中点，DE⊥AB，得到AP=PB，由AC=CE，则△PAB和△AEC为等腰三角形，于是得到∠PAB=∠CEA=∠PBA，证得CE∥BP，得到∠PBC=∠BCE，通过△PBD≌△PAD，得到∠CAD=∠PBC，于是得到结论；
（2）延长AD交PB与T，推出△APT≌△BPC，得到PT=PC，证得PT=$\frac{1}{2}$PB，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）延长AC，ED交于P，连接PB，
∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴AP=PB，∵AC=CE，
则△PAB和△AEC为等腰三角形，
∴∠PAB=∠CEA=∠PBA，
∴CE∥BP，
∴∠PBC=∠BCE，
∵AE=EB，ED⊥AB，
∴AD=BD，
在△PBD与△APD中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{AD=BD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PBD≌△PAD，
∠CAD=∠PBC，
∴∠CAD=∠BCE；

（2）延长AD交PB与T，
在△PAT与△PBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠PAT}\\{PA=PB}\\{∠APT=∠BPC}\end{array}\right.$，
∴△APT≌△BPC，
∴PT=PC，
∵PC=$\frac{1}{2}$PA，
∴PT=$\frac{1}{2}$PB，
∴PT=BT，
∵CE∥BP，
∴△EFD∽△DTP，△CFD∽△DBT，
∴$\frac{EF}{PT}=\frac{FD}{DT}=\frac{FC}{BT}$，
∴EF=CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．