Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于D，P是AB延长线上一点，连PC，且∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由AC为直径，得到∠ADC=90°，由余角的性质得到∠PCA=90°，于是得到结论；
（2）如图，连接连接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．设PC=3k，PA=5k，AC=4k，根据等腰三角形的性质得到CD=BD，根据三角形的中位线的性质得到CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=k，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠PCB=∠CAB，
∴PCB+∠DCA=90°，
∴∠PCA=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接连接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．
在Rt△APC中，∵sin∠PAC=$\frac{3}{5}$，
设PC=3k，PA=5k，AC=4k，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB，
∵AC=AB=4k，
∴CD=BD，
∵DF∥BE，
∴CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=k，
∵BE∥AC，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{BE}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$k＜BE=$\frac{4}{5}$k，EC=$\frac{12}{5}$k，
∴CF=$\frac{6}{5}$k，PF=$\frac{14}{5}$k，DF=$\frac{2}{5}$k，
∴tan∠PCB=$\frac{DF}{CF}$=3．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．