Question

如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中
A型：边长为a厘米的正方形；
B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；
C型：边长为1厘米的正方形．
（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为

（2a²+4a+4）

平方厘米；
①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为

（a²+4a+4）

平方厘米，这个大正方形的边长为

（a+2）

厘米；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）
（2）A型12块，B型12块，C型4快．从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为

（2a+1）cm

．

Answer 1

分析：（1）由于1块A型的面积为a²cm，1快、块B型的面积为4acm²，1块C型的面积为4cm²，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为（2a²+4a+4）cm²；
①把2a²+4a+4减去a²，然后根据完全平方公式得到a²+4a+4=（a+2）²，由此得到正方形的边长；
②把2a²+4a+4减去2，然后根据完全平方公式得到2a²+4a+2=2（a+1）²，由此得到正方形的边长，所以从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板满足要求；
（2）从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求，因为12a²+12a+4-1=12a²+12a+3=3（2a+1）²，此时正方形的边长为（2a+1）cm．

解答：解：（1）1块A型的面积为a²cm，1快、块B型的面积为4acm²，1块C型的面积为4cm²，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为（2a²+4a+4）cm²；
①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为2a²+4a+4-a²=a²+4a+4，而a²+4a+4=（a+2）²，则此正方形的边长为（a+2）cm；
②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下：
2a²+4a+4-2=2a²+4a+2=2（a²+2a+1）=2（a+1）²，此时正方形的边长为（a+1）cm；

（2）12a²+12a+4-1=12a²+12a+3=3（2a+1）²，此时正方形的边长为（2a+1）cm．
故答案为（2a²+4a+4），（a²+4a+4），a+2；（2a+1）cm．

点评：本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．