Question

17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．

Answer 1

分析 根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．

解答 解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}=\sqrt{5}a$，O′D′=$\sqrt{（2a）^{2}+（2a）^{2}}=2\sqrt{2}a$，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=$\frac{BD′•O′F}{O′D′}=\frac{3a•2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{3\sqrt{2}a}{2}$，
∴O′E=$\sqrt{O′{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{5}a）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴tanBO′E=$\frac{BE}{O′E}=\frac{\frac{3\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=3$，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．

点评 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．