Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．

（1）求和的值；
（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上
滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．

Answer 1

（1）且（2）不存在，证明见解析

解：（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，
∴A，B的坐标分别，．               ……………………(1分)
又点A，B在直线上，∴    ……………………(2分)
解得或                          …………………(4分)
当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当
且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．
∴且.………………………………………………………………(5分)
（2）假设存在点使得．
∵ ∥轴，∥轴，∴∥，
∴，∴Rt∽Rt,∴,……………(7分)
设点P坐标为（1＜x＜8＝，则M点坐标为，
∴.又，
∴，即　　　（※）      ……………………(9分)
∵．∴方程（※）无实数根．
所以不存在点使得．                     …………………(10分)
（1）根据题意可设出A、B两点的坐标，把A、B两点的坐标代入直线y="kx+" ，与双曲线y= （m＞0）可得到关于mk的方程组，求出m、k的值即可．
（2）本题考查的是一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意设出A、B两点的坐标，是解答此题的关键．