Question

如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。

Answer 1

（1）证明略。
（2）四边形AGBD是矩形。理由略。

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC
E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=AB，DF=CD，
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，
∴AE=BE=AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四边形DEBF是菱形．
（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB
∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四边形AGBD是矩形．