Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；

（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）连接OC，由DC=DQ可得∠Q=∠DCQ，由OC=OB可得∠OCB=∠OBC，由PQ⊥AB于点P可得∠QPB=90°，从而可得∠Q+∠OBC=90°，即可得到∠DCQ+∠OCB=90°，从而可得∠OCD=90°，即可由此得到CD是⊙O的切线；

（2）由BP=6，∠QPB=90°，sin∠Q=易得BQ=10，由BP=6，AP=2易得AB=8，连接AC，易证△ABC∽△QBP，由相似三角形对应边成比例即可求得BC的长，再由BQ-BC即可求得QC的长了.

试题解析：

（1）如图，连结OC．

∵DQ=DC，

∴∠Q=∠QCD．

∵OC=OB，

∴∠B=∠OCB．

∵QP⊥BP，

∴∠QPB=90° ，即∠B+∠Q=90°，

∴∠QCD+∠OCB=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；

（2）如图，连结AC，

∵BP=6，AP=2，

∴AB=8，

∵在Rt△BQP中，sinQ=，

∴BQ=10，

连接AC，

∵AB是是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠QPB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△QBP，

∴，即，

∴BC=，

∴CQ=BQ-BC=.