Question

如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A₁B₁C₁D₁，再以A₁B₁C₁D₁各边的中点为顶点作四边形A₂B₂C₂D₂，…，如此下去，得到四边形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁的周长

 

．

Answer 1

分析：根据图形，四边形A₁B₁C₁D₁的长为

a

2

，宽为

b

2

，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，边长为

a2+b2

22

；四边形A₃B₃C₃D₃的长为

a

22

，宽为

b

22

，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形，边长为

a2+b2

23

，依此类推，A_2n-1B_2n-1C_2n-1D_2n-1长为

a

2n

，宽为

b

2n

，四边形A_2nB_2nC_2nD_2n是菱形，边长为

a2+b2

2n+1

，四边形A₂₀₁₀B₂₀₁₀C₂₀₁₀D₂₀₁₀是菱形，边长乘以4就是周长．

解答：解：结合图形，脚码为奇数时，四边形A_2n-1B_2n-1C_2n-1D_2n-1是矩形，长为

a

2n

，宽为

b

2n

；
脚码为偶数时，四边形A_2nB_2nC_2nD_2n是菱形，边长为

a2+b2

2n+1

，
∴四边形A₂₀₁₀B₂₀₁₀C₂₀₁₀D₂₀₁₀是菱形，边长为

a2+b2

21006

，
周长为

4 a2+b2

21006

，即

a2+b2

21004

．
∴四边形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁是矩形，长为

a

21005

，宽为

b

21005

，
∴四边形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁的周长为：2（

a

21005

+

b

21005

）=

a+b

21004

．
故答案为：

a+b

21004

．

点评：本题是规律探寻题，探索出当脚码为奇数时，四边形为矩形，当脚码为偶数时，四边形为菱形，并表示出矩形的长与宽的表达式以及菱形的边长的表达式是解题的关键．