Question

【题目】如图，抛物线y＝（x＋m）2＋m与直线y＝x相交于E，C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交

于A，B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y＝-x相交于点D．

⑴ 若抛物线与y轴交点坐标为（0，2），求m的值；

⑵ 求证：⊙H与直线y＝1相切；

⑶ 若DE＝2EC，求⊙H的半径．

Answer 1

【答案】(1)-2;(2)见解析;(3)3.

【解析】

（1）由抛物线y=（x+m）2+m与y轴的交点坐标为（0，2），可得m2+m=2，又由抛物线与x轴有两个交点，即可得（x+m）2+m=0有两个不相等的实数根，继而求得答案；
（2）首先作直径CM交弦AB于点G，连接HB，由抛物线y=（x+m）2+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），可得（x+m）2+m=-x，继而可证得点C是抛物线的顶点，由抛物线与圆的对称性得：CM垂直平分AB，可证得CM⊥直线y=1，然后设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是（x+m）2+m=x2+2mx+m2+m=0的两根，可得x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，再设⊙H的半径为r，CG=-m，HG=-m-r，易证得点H到直线y=1的距离为：-m-r+1=2r-r=r，即可得⊙H与直线y=1相切；
（3）首先连接MD，由⊙H与直线y=1相切于点M，可得△CMN是等腰直角三角形，CM为直径，易得DN=DC，则可求得EC的长，继而求得答案．

⑴ ∵抛物线y＝（x＋m）2＋m与y轴的交点坐标为（0，2），

∴当x＝0时，y＝m2＋m＝2，解之，得，m1＝-2，m2＝1．

∵抛物线y＝（x＋m）2＋m与x轴有两个交点，

∴方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有不等的实数根，（2m）2－4（m2＋m）＞0，

∴m＜0，∴m＝-2．

⑵ 证明：作直径CM交弦AB于点G，连接HB．

由抛物线y＝（x＋m）2＋m与直线y＝-x相交于点E，C两点，

可得（x＋m）2＋m＝-x，

∴（x＋m）2＋m＋x＝0，（x＋m）（x＋m＋1）＝0．

∴x1＝-m，x2＝-m-1．

因为点E在点C的左边，

所以E，C两点的坐标为E（-m-1，m＋1），C（-m，m）．

故点C是抛物线的顶点．由抛物线和圆的对称性知，CM垂直平分AB．

∴CM⊥直线y＝1，

设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两根．

∴x1＋x2＝-2m，x1x2＝m2＋m．

∴AB＝x2－x1＝=2．

设⊙H的半径为r，CG＝-m，HG＝m-r．在Rt△HGB中，HG＝-m-r，HB＝r，GB＝．

∴（-m－r）2＋（）2＝r2．r ＝．

因为HG＝-m-r，

所以点H到直线y＝1的距离为-m-r＋1＝2r-r＝r，

所以，⊙H与直线y＝1相切．

⑶ 连接MD，⊙H与直线y＝1相切于点M，所以△CMN为等腰直角三角形，

∵CM为直径，

∴∠CDM＝90°，

∴DN＝DC．由E（-m-1，m＋1），C（-m，m）可得，EC＝．

又∵DE＝2EC，

∴CD＝3CE＝3，

∴CN＝2CD＝6，

∴CM＝2r ＝6，

∴r ＝3．