Question

19．如图，已知线段AC所在直线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+1，四边形ABCD是以AC为对角线的动态平行四边形，边AD在x轴上，点D在x轴正半轴上运动，两对角线的交点E始终在y轴上，反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求当?ABCD为菱形时，点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由直线AC的解析式求出点A和点E的坐标，得出OA=4，OE=1，由平行四边形的性质得出AE=CE，作CM⊥x轴于M，则CM∥OE，得出OM=OA=4，OE为△ACM的中位线，由三角形中位线定理得出CM=2OE=2，得出点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）求出k的值即可；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，∠AED=90°，由OE⊥AD，得出△AOE∽△EOD，得出对应边成比例，求出OD，即可得出点D的坐标．

解答 解：（1）∵直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x+1，
当y=0时，x=-4；
当x=0时，y=1；
∴A（-4，0），E（0，1），
∴OA=4，OE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE，
作CM⊥x轴于M，如图1所示：
则CM∥OE，
∴OM=OA=4，
∴OE为△ACM的中位线，
∴CM=2OE=2，
∴点C的坐标为（4，2），
把点C（4，2）代入反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{8}{x}$；
（2）当?ABCD为菱形时，AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
又∵OE⊥AD，
∴△AOE∽△EOD，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OA}{OE}$，
即$\frac{1}{OD}=\frac{4}{1}$，
解得：OD=$\frac{1}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质、反比例函数解析式的求法、三角形中位线定理、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形和菱形的性质是解决问题的关键，本题综合性强，难度适中．