Question

如图，顶点为A（1，4）的抛物线与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C，D两点，抛物线上一动点P沿抛物线从点C向点A运动，点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q，分别过点P，Q向x轴作垂线，垂足分别为点M，N．抛物线对称轴与x轴相交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACE与△PMQ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，由已知条件可知，h和k的值，再把B的坐标代入求出a的值即可；
（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1-t，4-2t²），由抛物线的对称性可求出点Q的坐标为（1+t，4-2t²），再分两种情况△ACE∽△PMQ或△ACE∽△QMP讨论求出符合题意的t值即可．

解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
∵顶点为A（1，4）
∴此抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
将点B（0，2）代入可求得：a=-2，
∴此抛物线的解析式为：y=-2（x-1）²+4=-2x²+4x+2．

（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1-t，4-2t²），
根据对称性可得，点Q的坐标为（1+t，4-2t²），
令y=4-2（x-1）²=0，
解得到：x=1±

2

，
从而有：C（1-

2

），D（1+

2

，0）
所以：0＜t＜

2

，
由于△ACE与△PMQ相似，
则必有：

PM

PQ

=

AE

CE

或

PM

PQ

=

CE

AE

，
当

PM

PQ

=

AE

CE

得到

4-2t2

2t

=

4

2

，
解得t=2-

2

或-2-

2

（舍去）
从而得到点P（

2

-1，8

2

-8）．
当

PM

PQ

=

CE

AE

得到

4-2t2

2t

=

2

4

，
解得t=

130 - 2

8

或

- 130 - 2

8

（舍去），
从而得到点P（

8+ 2 - 130

8

，

-17-4 2 + 65 +4 130

8

），
故存在这样的点P，坐标为（

2

-1，8

2

-8）或（

8+ 2 - 130

8

，

-17-4 2 + 65 +4 130

8

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．