Question

如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；
②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F．
③则直线PQ与AC的位置关系是______．
（2）若AB=6，BC=4，求△ADF的周长．

Answer 1

解：（1）如图，③∵直线PQ是两圆的公共弦，
∴PQ⊥AC，
∴直线PQ与AC的位置关系是：垂直；

（2）∵两圆的半径相等，
∴AO=OC，AC⊥EF，
∴AF=FC，
∴△ADF的周长=AD+DF+AF=AD+DF+FC=AD+DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，BC=4，
∴△ADF的周长=AD+DC=AB+BC=6+4=10．
分析：（1）按要求作出图形，标注好字母即可，根据两圆连心线垂直平分公共弦解答；
（2）根据两圆半径相等，所以EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，AF=FC，所以△ADF的周长等于CD与AD的和，也就是平行四边形的两邻边之和．
点评：本题考查了相交两圆的连心线垂直公共弦的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．