【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点D、C,直线AB与轴交于点,与直线CD交于点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)点E是射线CD上一动点,过点E作轴,交直线AB于点F,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形,请求出点E的坐标;
(3)设P是射线CD上一动点,在平面内是否存在点Q,使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标;否则说明理由.
【答案】(1);(2)点E的坐标为或;(3)符合条件的点Q共3个,坐标为(3,1),(-6,4)或
【解析】
(1)先确定出A的坐标,再利用待定系数法即可得出结论;
(2)先表示出EF=|a+4-(-2a-2)|=|3a+6|,进而建立方程|3a+6|=4,求解即可得出结论;
(3)分三种情况,利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出结论.
解:(1)∵点在上.
∴,解得,
即点A的坐标为(-2,2),
设直线AB的解析式为,
∴.
解得,
∴直线AB的解析式为.
(2)由题意,设点E的坐标为,则
∵轴,点F在直线上,
∴点F的坐标为,
∴,
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,且,∴.
∵直线与轴交于点,
∴点的坐标为(0,4),
∴,即,
解得:或,
∴点E的坐标为或.
(3)
如图2,当BC为对角线时,点P,Q都是BC的垂直平分线,且点P和点Q关于BC对称,
∵B(0,-2),C(0,4),
∴点P的纵坐标为1,
将y=1代入y=x+4中,得x+4=1,
∴x=-3,
∴(-3,1),
∴(3,1)
当CP是对角线时,CP是BQ的垂直平分线,设Q(m,n),
∴BQ的中点坐标为,
代入直线y=x+4中,得 ①,
∵CQ=CB,
∴②,
联立①②得,
(舍)或,
∴(-6,4),
当PB是对角线时,PC=BA=6,
设P(c,c+4),
∴,
∴(舍)或,
∴P,
设Q(d,e)
∴,
∴,
∴Q,
符合条件的点Q共3个,坐标为(3,1),(-6,4)或.
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【题目】问题背景
在数学活动课上,张老师要求同学们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动.如图 1,在矩形纸片ABCD 和矩形纸片EFGH中,AB=1,AD=2,且FE>AD,FG>AB,点E 是 AD 的中点,矩形纸片 EFGH 以点E 为旋转中心进行逆时针旋转,在旋转过程中会产生怎样的数量关系,提出恰当的数学问题并加以解决.
解决问题
下面是三个学习小组提出的数学问题,请你解决这些问题.
(1)“奋进”小组提出的问题是:如图 1,当 EF 与 AB 相交于点 M,EH 与 BC 相交于点 N 时,求证:EM=EN.
(2)“雄鹰”小组提出的问题是:在(1)的条件下,当 AM=CN 时,AM 与 BM 有怎样的数量关系,请说明理由.
(3)“创新”小组提出的问题是:若矩形 EFGH 继续以点 E 为旋转中心进行逆时针旋转,当 时,请你在图 2 中画出旋转后的示意图,并求出此时 EF 将边 BC 分成的两条线段的长度.
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【题目】某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图:
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)共随机调查了___名学生,课外阅读时间在68小时之间有___人,并补全频数分布直方图;
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数;
(3)请估计该校3000名学生每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.
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【题目】如图,在ABCD中,点E、F分别在边AB和CD上,下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是( )
A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB
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【题目】某校举行全市读书活动月演讲比赛的选拔赛,根据选拔赛成绩拟从小红和小王两位同学中推选1人参加全市的总决赛,两人的选拔赛成绩如下(单位:分):
形象 | 主题 | 普通话 | 演讲技巧 | |
小红 | 85 | 70 | 80 | 85 |
小王 | 95 | 70 | 75 | 80 |
(1)若要按形象占40%,主题占10%,普通话占20%,演讲技巧占30%计算总分,哪位选手将胜出?
(2)评委们已算出小红和小王同学的形象、主题、普通话、演讲技巧四项成绩的平均分都是80分,小红的成绩方差为,请你计算小王成绩的方差,并说明若要选派各方面素质均衡的选手参赛,哪位选手将胜出?
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【题目】越来越多的人在用微信付款、转账,把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现。
自2016年3月l日起,每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度,当累计提现金额超过1000元时,累计提现金额超出1000元的部分需支付0.1%的手续费,以后每次提现支付的手续费为提现金额的0.1%.
(1)小明在今天第1次进行了提现,金额为l600元,他需支付手续费_________元;
(2)小亮自2016年3月1日至今,用自己的微信账户共提现3次,3次提现金额和手续费分别如下:
第1次 | 第2次 | 第3次 | |
提现金额(元) | A | b | |
手续费(元) | 0 | 0.4 | 3.4 |
问:小明3次提现金额各是多少元?
(3)单笔手续费小于0.1元的,按照0.1元收取(即提现不足100元,按照100元收取手续费).小红至今共提现两次,每次提现金额都是整数,共支付手续费2.4元,第一次提现900元。求小红第二次提现金额的范围.
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【题目】某中学八年级共有10个班,每班40名学生,学校对该年级学生数学学科某次学情调研测试成绩进行了抽样分析,请按要求回答下列问题:
(1)若要从全年级学生中抽取40人进行调查,你认为以下抽样方法中最合理的是 .
①随机抽取一个班级的40名学生的成绩;
②在八年级学生中随机抽取40名女学生的成绩;
③在八年级10个班中每班各随机抽取4名学生的成绩.
(2)将抽取的40名学生的成绩进行分组,绘制如下成绩频数分布表:
①m= ,n= ;
②根据表格中的数据,请用扇形统计图表示学生成绩分布情况.
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