Question

某外语学校在圣诞节要举行汇报演出，需要准备一些圣诞帽，为了培养学生的动手能力，学校决定自己制作这些圣诞帽．如果圣诞帽（圆锥形状）的规格是母线长42厘米，底面直径为16厘米．
（1）求圣诞帽的侧面展开图（扇形）的圆心角的度数（精确到度）；
（2）已知A种规格的纸片能做3个圣诞帽，B种规格的纸片能做4个圣诞帽，汇报演出需要26个圣诞帽，写出A种规格的纸片y张与B种规格的纸片x张之间的函数关系式及其x的最大值与最小值；若自己制作时，A、B两种规格的纸片各买多少张时，才不会浪费纸张？
（3）现有一张边长为79厘米的正方形纸片，它最多能制作几个这种规格的圣诞帽（圣诞帽的粘接处忽略不计）．请在比例尺为1：15的正方形纸片上画出圣诞帽的侧面展开图的裁剪草图，并利用所学的数学知识说明其可行性．

Answer 1

分析：（1）利用圆锥的弧长=圆锥的底面周长可得圆心角的度数；
（2）利用26个圣诞帽的个数列出相应的等量关系，可得y与x之间的函数关系式，然后取得整数解的最大值与最小值即可；
（3）算出正方形的面积及圆锥侧面积，让正方形的面积除以圆锥侧面积得到的整数解即为圣诞帽的个数，让扇形的顶点在正方形的四个顶点，扇形一边在正方形的一边即可；根据扇形的两条半径的和小于对角线的长，算出的∠MCP的度数和69°相加得90°即合适．

解答：解：（1）∵底面直径为16厘米，
∴圆锥的底面周长为16πcm，
∵圣诞帽的侧面展开图是一个扇形，
∴扇形的弧长是16π，
设扇形是圆心角为n，

nπ×42

180

=16π，
解得n≈69，
则扇形的圆心角是69°；

（2）y=-

4

3

x+

26

3

，由y≥0，得x的最大值是

13

2

，最小值是0．
显然，x、y必须取整数，才不会浪费纸张．
由x=1时，y=

22

3

；x=2时，y=6；x=3时，y=

14

3

；
x=4时，y=

10

3

x=5时，y=2；x=6时，y=

2

3

故A、B两种规格的纸片各买6张、2张或2张、5张时，才不会浪费纸张．
（3）正方形的面积为79×79=6241，圆锥的侧面展开图的面积为π×8×42≈1055，
∴可以截的扇形的个数为：6241÷1055≈5，但画出草图后可得只有4个．
裁剪草图，如图

设相邻两个扇形的圆弧相交于点P，则PD=PC，
过点P作DC的垂线PM交DC于M，
则CM=

1

2

DC=

1

2

×79=39.5，又CP=42，
∴cos∠MCP=

CM

CP

=

39.5

42

，
∴∠MCP=20°＜（90°-69°），
又42+42＜79

2

，所以这样的裁剪草图是可行的．

点评：用到的知识点为：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长；在较大的纸张上裁剪较小的图形，应从实际出发思考．